社会調査情報処理実習A 1組

Fisherの分散分析

独立した2グループ間での平均差の検定では2グループの平均差を検証したが、今度は3つ以上のグループでの平均差を検証したい。

基本的にやりたいことはt検定と同じだが、3グループ以上になると平均差の計算が出来ない。

そこで全体の平均とグループごとの平均との差を考える。この平均差がサンプルのばらつき(誤差)より十分に大きければ、グループごとの平均差に意味がある、ということになる。

平均値と個々のデータとの差は分散によってその大きさを測ることが出来る。ということで分散の大きさによって平均差の有意性を検証しようとするのがこの分散分析である。

一般的な分散(全体分散)を二つの分散に分解する。一つはStudentのt検定で用いられた共通分散=グループ内部での分散(残差分散)、もうひとつはグループ間の分散(因子分散)である。

因子分散(グループ間)

全体の平均と各グループの平均とのばらつき

残差分散(グループ内)

各グループの共通分散

• Aの平均値からのA内の個々のデータ
• Bの平均値からのB内の個々のデータ
• Cの平均値からのC内の個々のデータ

各々のばらつき

全体分散

全体の平均と個々のデータとのばらつき

グループ間の分散が大きいというのは、グループごとの平均値が相互に離れているということである。ということでグループ間の分散を計算する。

1. グループ間偏差平方を計算する。

   個々のデータについて、自分が所属する学部の平均と全体の平均との偏差平方を求める。

   		C		E
   1		faculty		グループ間(因子)偏差平方
   2		science		=(XLOOKUP(faculty,I2#,L2:L7)-L8)^2
   3		law
   4		science
   5		social

   		I	J	J	L	M
   1			N	df	mean	u2
   2		science	150	149	205.32	3076.57
   3		law	80	79	169.44	1222.63
   4		social	60	59	180.85	5744.67
   5		literature	80	79	171.36	4844.44
   6		agriculture	50	49	194.70	3726.95
   7		economy	80	79	178.36	560.97
   8		全体	500	499	185.83	3223.81

2. グループ内偏差平方を計算する。

   個々のデータについて、自分の値と自分が所属する学部の平均との偏差平方を求める。

   		C	D		F
   1		faculty	time		グループ内(残差)偏差平方
   2		science	193		=(time-XLOOKUP(faculty,I2#,L2:L7))^2
   3		law	166
   4		science	293
   5		social	215

   		I	J	J	L	M
   1			N	df	mean	u2
   2		science	150	149	205.32	3076.57
   3		law	80	79	169.44	1222.63
   4		social	60	59	180.85	5744.67
   5		literature	80	79	171.36	4844.44
   6		agriculture	50	49	194.70	3726.95
   7		economy	80	79	178.36	560.97
   8		全体	500	499	185.83	3223.81

3. 全体偏差平方を計算する。

   個々のデータについて、自分の値と全体の平均との偏差平方を求める。

   		D		G
   1		time		全体偏差平方
   2		193		=(time-AVERAGE(time))^2
   3		166
   4		293
   5		215

4. 各々の偏差平方和(変動)を求める。

   		I	J
   11		因子	偏差平方和
   12		グループ間	=SUM(E2#)
   13		グループ内	=SUM(F2#)
   14		全体	=SUM(G2#)

5. 各々の自由度を求める。

   		I	J	K
   11		因子	偏差平方和	自由度
   12		グループ間	105103.77	=COUNTA(I2#)-1
   13		グループ内	1503579.45	=COUNT(time)-COUNT(L2:L7)
   14		全体	1608683.22	=COUNT(time)-1

6. 各々の分散を求める。

   		I	J	K	L
   11		因子	偏差平方和	自由度	分散
   12		グループ間	105103.77	5	=J12:J14/K12:K14
   13		グループ内	1503579.45	494
   14		全体	1608683.22	499

7. グループ間分散(因子分散)とグループ内分散(残差分散)の比(F値)を求める。

   		I		L	K
   11		因子		分散	F
   12		グループ間		21020.75	=L12/L13
   13		グループ内		3043.68
   14		全体		3223.81

   グループ間分散が大きくなればなるほどF値は大きくなり、グループの違いによる平均差が偶然では生じにくくなる。逆にグループ間分散が小さくなればF値は0に近づき、グループの違いによる平均差は偶然による誤差に飲み込まれる。この場合平均差に対するグループの違いの意味は小さくなる。

8. グループ間分散がグループ内分散より大きい値を取る確率p値を求める。

   		I		K		M	N
   11		因子		自由度		F	P(グループ間>グループ内)
   12		グループ間		5		6.91	=1-F.DIST(M12,K12,K13,TRUE)
   13		グループ内		494
   14		全体		499

   グループ間の分散(因子分散)が誤差由来のグループ内部での分散(残差分散)に比べて十分に大きければ、グループ同士の平均値は離れていると言える。このグループ間の分散（因子分散）とグループ内部での分散（残差分散）との比をF検定で検証する。

   • 帰無仮説－「因子」が違うことは値の違いに無関係である（グループ間で平均に差があるのは偶然だ）
   • 対立仮説－因子によってこそ変動(平均からのズレ)は左右されているのであって、残差など文字通りのこりカスや！
   • 因子による分散＞＞（圧倒的な、偶然とかケチの付けようのない差）＞＞残差による分散

   F値が大きくなれば有意と一方向の検定なので片側検定である。

9. 効果量η2を求める。

   		I	J		O
   11		因子	偏差平方和		η2
   12		グループ間	105103.77		=J12/J14
   13		グループ内	1503579.45
   14		全体	1608683.22

   効果量η2	効果の目安
   0.14	大
   0.06	中
   0.01	小
   0	なし